滑模变结构控制初步

讲述滑模变结构控制的基础知识(只是将平时笔记本上记下的对应内容照搬过来)。

参考书籍:
《变结构控制理论基础》,高为炳;
《变结构控制系统》,姚琼芸等。


基础知识了解

相平面

相平面法是求解一、二阶线性或非线性系统的一种图解法,可用来分析系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度以及初始条件和参数对系统运动的影响。

相平面与相轨迹

一个二阶系统常微分方程如下:

$$
{\ddot x}+f(x,{\dot x})=0
$$

其中,$f(x,{\dot x})$ 是 $x$ 和 ${\dot x}$ 的线性或非线性函数。在非全零初始条件 $(x_0,\; {\dot x_0})$ 或输入作用下,系统的运动可以用解析解 $x(t)$ 和 ${\dot x}(t)$ 描述。
取 $x$ 和 ${\dot x}$ 构成的坐标平面,称为相平面;当 $t$ 变化时,点 $(x(t),\; {\dot x}(t))$ 在相平面上的轨迹,称为相轨迹。相即是系统的状态的意思。如下图所示:

相平面与相轨迹

相轨迹性质

  • 相轨迹的斜率
    相轨迹在相平面上任意一点 $(x,\; {\dot x})$ 处的斜率为
    $$
    {\frac {d{\dot x}} {dx}}
    = {d{\dot x}/dt \over dx/dt}
    = {-f(x, \; {\dot x}) \over {\dot x}}
    $$
    当点 $(x,\; {\dot x})$ 满足 ${\dot x}$ 和 $f(x,\; {\dot x})$ 不同时为零时,则轨迹斜率就是一个确定的值(这里无穷大也作为一个确定的值),这样,最多只有一条轨迹通过该点。

  • 相轨迹的奇点
    相轨迹奇点处有:
    $$
    {\frac {d{\dot x}} {dx}}
    = {-f(x, \; {\dot x}) \over {\dot x}}
    = {\frac 0 0}
    $$
    即相轨迹的斜率不确定,通过该点的相轨迹不止一条。这样的点是相轨迹的交点,称为奇点。显然,奇点只分布在相平面的 $x$ 轴上。由于在奇点处有 ${\ddot x} = {\dot x} = 0$,故奇点也称为平衡点。

相轨迹绘制

相轨迹的绘制方法有解析法和图解法两种。

  • 解析法
    解析法即是求解微分方程,得到 $x$ 和 ${\dot x}$ 的解析关系。

  • 图解法
    等倾斜线法是图解法之一。
    设置相轨迹上非奇点的斜率为 ${\alpha}$,即有:
    $$
    {\frac {d{\dot x}} {dx}}
    = {-f(x, \; {\dot x}) \over {\dot x}}
    = {\alpha}
    $$
    则通过化解后,可以得到等倾线方程:
    $$
    {\dot x}=g({\alpha})x
    $$
    其中,$g(\alpha)$ 为关于斜率 ${\alpha}$ 的表达式,也即等倾斜线的斜率。从某一点开始,如初始条件 $(x_0,\; {\dot x_0})$点,根据等倾斜线和相轨迹斜率方向,就可以逐渐的连出一条相轨迹,如下图所示。

等倾斜线法

附:Python-Matlab绘制相平面轨迹

传递函数

传递函数是系统输入与输出的拉氏变换之比:

$$
G(s) = \cfrac{X_o(s)}{X_i(s)}
$$

  • $X_o(s)=0$的根为零点;
  • $X_i(s)=0$的根为极点,且$X_i(s)=0$为系统特征方程。

状态空间方程

状态空间方程用于描述系统状态量$x$、输入量$u$、输出量$y$之间关系:

  • 线性定常系统

$$
\begin{cases}
\dot{x} = Ax+Bu \\
y = Cx + Du
\end{cases}
$$

  • 线性离散系统

$$
\begin{cases}
x(k+1) &= Gx(k) + Hu(k) \\
y(k) &= Cx(k) + Du(k)
\end{cases}
$$

  • 线性时变系统

$$
\begin{cases}
\dot{x}(t) = A(t)x(t)+B(t)u(t) \\
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
\end{cases}
$$

  • 非线性系统

$$
\begin{cases}
\dot{x} &= f(x, u, t) \\
y(t) &= g(x, u, t)
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
\dot{x}(t_{k+1}) &= f(x, u, t_k) \\
y(t_k) &= g(x, u, t_k)
\end{cases}
$$


变结构实例分析

继电系统

继电系统是一种比较简单的变结构系统。下面是一个二位式温度调节器的实例:
设要求某温箱的温度保持到 $ T^{\ast}=200^{\circ}C $,允许误差为 $ {\%}5 $。二位式调节原理如下:二位之一表示开启加热,另一是关闭加热自然降温或开启制冷。设现在温箱 $ 150^{\circ}C $,开位加温直到 $ 210^{\circ}C $,然后关位降温直到 $ 190^{\circ}C $,然后再开位加温,这样一直持继续下去,使温箱的温度 $ T $ 保持在给定温度 $ T^{\ast} $ 附近,误差不超过 $ {\%}5 $,温度变化如图所示。

二位式温度调节

二位式温度调节器是一个典型的变结构控制系统,也是一个最简单的变结构系统。

相平面轨迹分析

对如下系统为例:

$$
\begin{cases}
\ddot{x} = a\dot{x} + u, a > 0 \\
u = -\psi x
\end{cases}
$$

  • 当$\psi = \alpha \, (\alpha > 0)$时,相轨迹为:

相平面1

  • 当$\psi = -\alpha \, (\alpha > 0)$时,相轨迹为:

相平面2

  • 当$\psi$为:

$$
\psi =
\begin{cases}
\alpha \, &, \, xs > 0 \\
-\alpha \, &, \, xs < 0 \\
& \,\,\,\, s = cx + \dot{x}
\end{cases}
$$

相平面3

可以看到:

在$x=0$和$s=0$上会改变系统结构(即变结构);
在$s=0$上会沿着直线滑动到平衡点(即滑模);

最终,通过在切换两个非稳定系统的输入$u$,却得到了一个稳定系统。


滑模变结构控制

广义上讲,在控制过程中,系统发生改变,则称为变结构系统;滑模变结构是其中的一种。

定义

下面是大家公认、已得到系统发展的滑模变结构控制系统的定义(更确切地说一种综合方法):

对于非线性结构系统:

$$
\dot{x} = f(x,u,t) \, , \, x \in R^n \, , \, u \in R^m \, , \, t \in R
$$

确定切换函数向量:

$$
s(x) \, , \, s \in R^m
$$

并录求变结构控制:

$$
u_i(x) =
\begin{cases}
u_i^+(x) \, , \, s_i(x) > 0 \\
u_i^-(x) \, , \, s_i(x) < 0 \, , \, (u_i^+(x) \neq u_i^-(x))
\end{cases}
$$

使得(以下三点也是变结构控制的三要素):

  • 所有相轨迹于有限时间内到达切换面(即进入直线$s=0$)
  • 切换面存在滑动模态区(即$s=0$两侧的相轨迹方向对立)
  • 滑模运动渐近稳定,动态品质良好(即在$s=0$上向着平衡状态滑动)

变结构系统设计,即是要确定切换面$s_i(x) = 0$,以及求取控制结构$u_i^\pm (x)$,来满足变结构控制的三要素。

特点

  • 不变性:滑动模态对系统内部参数的变动和外部扰动具有不变性,如滑模运动由$x=cx + \dot{x}$描述,只与$c$相关,与系统内部参数$a$无关。
  • 抖动问题:实际的滑模运动如下图所示(右键另存为下载gsp文件),抖动即图中的锯齿线,因为不能实现理想的开关特性。

抖动问题

滑动模态存在性条件

针对变结构控制的三要素,我们可以相应的提出几个问题:

  • 进入切换面的条件是什么?(对于某些系统并不是所有的轨迹都会进入$s=0$)
  • 滑模存在的系件是什么?(比如前面实例中,对于$x=0$,相轨迹只是穿过,而不是滑动)
  • 滑模运动稳态条件是什么?(若是朝着发散的方向滑动,则系统就不能稳态了)

这里直接给出滑动模态存在的条件:

  • $ \lim \limits_{s \to +0} \dot{s} \, , \, \lim\limits_{n \to -0} \dot{s} $ :表示$s=0$的邻域小范围;
  • 或简单表示成 $s \dot{s} < 0$:表示任何位置的大范围,通常这种表示还包含了进入切换面的条件;

看图来解释就是:切换面$s=0$两侧的轨迹,在$s=0$的法线上的投影的方向相反,且指向切换面。

滑动模态存在性条件

滑动模态的数学描述

我们已经知道:

  • 当$s(x) > 0$时,可以用$\dot{x} = f(x, u^+, t)$来描述系统
  • 当$s(x) < 0$时,可以用$\dot{x} = f(x, u^-, t)$来描述系统

然而,当$s(x)=0$时,该怎样来描述系统呢?以下是通过等效控制法来描述:

1.系统$\dot{x} = f(x, u, t)$在滑模运动时,恒有:

$$
s(x) = 0, \dot{s}(x) =0
$$

2.等效控制函数$u_e(x)$可以由以下方程求解:

$$
\dot{s}
= \cfrac{\partial s}{\partial x} \cdot \dot{x}
= \left[\cfrac{\partial s}{\partial x_1} \, , \, \cfrac{\partial s}{\partial x_2} \, , \, \cdots \cfrac{\partial s}{\partial x_n} \right] \cdot f(x, u, t)
= 0
$$

3.则$s(x)=0$上的微分方程为

$$
\dot{x} = f(x, u_e(x), t)
$$

因此,变结构设控制设计满足三要素,即可表示为:
选择$s_i(x)=0$和$u_i^\pm(x)$时,需要满足$s\dot{s}<0$,且使得$\dot{x} = f(x, u_e(x), t)$渐近稳定。

趋近律

关于趋近律更详细的讲解,可以查阅高为炳教程的相关著作和论文;这里只简单写下。

如下图所示,进入滑动模态之前的阶段称为正常运动。

滑动模态与正常运动

趋近律就是用来保证正常运动阶段的品质,设计趋近律即设计$s(x)$。

  • 对趋近律没要求:$s\dot{s}<0$
  • 按趋近律设计:$\dot{s}_i = -\xi \cdot sign(s_i) - f_i(s)$,可以设计成等速趋近律、指数趋近律、幂次趋近律、一般趋近律。

滑模观测器初步

这里给出线性系统滑模观测器的建立步骤,更具体可查阅论文Sliding Mode Observers. Tutorial

对于线性系统:

$$
\begin{cases}
\dot{x} = Ax+Bu \\
y = Cx
\end{cases}
$$

建立滑模观测器为:

$$
\begin{cases}
\dot{\hat{x}} = A\hat{x}+Bu + Lz \, , \, z = sign(y-c\hat{x}) = sign(y-\hat{y}) \\
\hat{y} = C\hat{x}
\end{cases}
$$

则误差方程:

$$
\begin{cases}
e = x - \hat{x} \\
\dot{e} = \dot{x} - \dot{\hat{x}} = Ae - L sign(Ce)
\end{cases}
$$

要使误差衰减至零,即要设计$L$使用误差方程是稳定的。


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文章标题:滑模变结构控制初步

本文作者:Yehuohanxing

发布时间:2017-10-30, 13:34:12

最后更新:2018-04-12, 23:04:07

原始链接:http://yehuohan.github.io/2017/10/30/笔记/滑模变结构控制初步/

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