电机控制之空间矢量

  1. 空间矢量
    1. 磁动势矢量
    2. 电流和电压矢量
    3. 磁链矢量
  2. 三相同步电机转矩控制
    1. 隐极与凸极
    2. 标量控制与矢量控制

此文主要讲解电流、电压的空间矢量表达式,以及电磁转矩的空间矢量表达式

参考书籍:《现代电机控制技术》第二版,王成元。


空间矢量

在电机内,可将在空间按正弦分布的物量表示为空间矢量。其本质是标量到空间复平面的数学映射,如图1-1所示,为电机轴向断面,在上面建立的空间复平面。

图1-1 电机轴向断与空间复平面

取定子 $A$ 相绕组的轴线作为实轴 $Re$,在空间复平面的任一矢量表示为:

$$
\begin{split}
\boldsymbol{r} &= R e^{j\theta} \\
&= Rcos\theta + jRsin\theta \\
&= a + jb
\end{split}
{\tag {1-1}} {\label {1-1}}
$$

式中,$\theta$ 称为空间矢量相位,$e^{j\theta}$ 可以看成向逆时针方向旋转 ${\theta}$ 角度,$\boldsymbol{r}$的顶点 $G$所描述的轨迹称为$\boldsymbol{r}$ 的运动轨迹。

磁动势矢量

图1-2所示,为定子三相绕组产生的磁动势分布情况。

图1-2 定子磁动势矢量及其运动轨迹

在空间复平面上,三相磁动势分别可以用以下空间矢量来描述:

$$
\begin{split}
\boldsymbol{f_A} &= F_A(t)e^{j0^\circ} \\[2ex]
\boldsymbol{f_B} &= F_B(t)e^{j120^\circ} \\[2ex]
\boldsymbol{f_C} &= F_C(t)e^{j240^\circ}
\end{split}
{\tag {1-2}} {\label {1-2}}
$$

式中,$F_A(t),\; F_B(t),\; F_C(t)$ 磁动势幅值,其正负分别由三相电流的正负来决定。
三相磁动势在空间复平面上的位置通过 $e^{j\theta}$ 来决定,即分别位于$0^\circ,\; 120^\circ,\; 240^\circ$ 的位置;而磁动势幅值的正负决定磁动势矢量$\boldsymbol{f_A},\; \boldsymbol{f_B},\; \boldsymbol{f_C}$ 的方向分别与 $A,\; B,\; C$ 三轴相同或相反。
由三相绕组产生的合成磁动势$\boldsymbol{f_s}$,可以表示为:

$$
\begin{split}
\boldsymbol{f_s} &= \boldsymbol{f_A} + \boldsymbol{f_B} + \boldsymbol{f_C} \\[2ex]
&= F_A(t)e^{j0^\circ} + F_B(t)e^{j120^\circ}+ F_C(t)e^{j240^\circ} \\[2ex]
&= a^0 F_A(t) + a^1 F_B(t) + a^2 F_C(t) \\[2ex]
&= F_A(t) + a F_B(t) + a^2 F_C(t)
\end{split}
{\tag {1-3}} {\label {1-3}}
$$

式中,$a^0 ,\; a^1, \; a^2$ 为空间算子,且有 $a^0 = e^{j0^\circ} = 1,\; a^1 = e^{j120^\circ} = a, \; a^2 = e^{j240^\circ}$ 。
而$F_A(t),\; F_B(t),\; F_C(t)$的表达式为:

$$
\begin{split}
F_A(t) &= {4 \over \pi} {1 \over 2} N_s k_{ws} i_A(t) \\
F_B(t) &= {4 \over \pi} {1 \over 2} N_s k_{ws} i_B(t) \\
F_C(t) &= {4 \over \pi} {1 \over 2} N_s k_{ws} i_C(t)
\end{split}
{\tag {1-4}} {\label {1-4}}
$$

式中,$N_s$ 为相绕组匝数, $k_{ws}$ 绕组因数,$k_{ws}<1$。从而,式$\eqref {1-3}$ 可以写成:

$$
\boldsymbol{f_s} = {4 \over \pi} {1 \over 2} N_s k_{ws} [i_A(t) + a i_B(t) + a^2 i_C(t)]
{\tag {1-5}} {\label {1-5}}
$$

通过式$\eqref {1-5}$可看出,可以通控制 $i_A(t),\; i_B(t),\; i_C(t)$ 来控制$\boldsymbol{f_s}$的运动轨迹,反过来,通过$\boldsymbol{f_s}$的期望运动轨迹来确定$i_A(t),\; i_B(t),\; i_C(t)$ 的时变规律,这就是矢量控制的基本方法。

电流和电压矢量

根据功率率不变约束,式$\eqref {1-5}$进一步可以写成:
$$
\boldsymbol{f_s} = {4 \over \pi} {1 \over 2} \sqrt{3 \over 2} N_s k_{ws} \boldsymbol{i_s} = {4 \over \pi} {1 \over 2} N_s k_{ws} [i_A + a i_B + a^2 i_C]
{\tag {1-6}} {\label {1-6}}
$$

对于满足功率不变约束:可将三相定子绕组合成的电流、电压矢量看成是一个单轴线圈产生的,且设定单轴线圈的有效匝数为定子每相绕组的 $\sqrt{3 \over 2}$ 倍,可使功率不变,功率不变即是单轴线圈的功率,和原三相绕组的功率相等。

根据式$\eqref {1-6}$,即可得到定子电流矢量 $\boldsymbol{i_s}$ 表达式:

$$
\boldsymbol{i_s} = \sqrt{2 \over 3} (i_A + a i_B + a^2 i_C)
{\tag {1-7}} {\label {1-7}}
$$

同样,定子电压空间矢量 $\boldsymbol{u_s}$ 表达式为:

$$
\boldsymbol{u_s} = {\sqrt {2 \over 3}} (u_A + a u_B + a^2 u_C)
{\tag {1-8}} {\label {1-8}}
$$

磁链矢量

对于定子磁连矢量 ${\boldsymbol \psi_s}$ 有:

$$
{\boldsymbol \psi_s} = {\sqrt {2 \over 3}} (\psi_A + a \psi_B + a^2 \psi_C)
{\tag {1-9}} {\label {1-9}}
$$


三相同步电机转矩控制

隐极与凸极

隐极式三相同步电机的电磁转矩表达式为:

$$
\begin{split}
t_e &= p_0 \boldsymbol{\psi_f} \times \boldsymbol{i_s} \\
&= p_0 \psi_f i_s sin\beta
\end{split}
{\tag {2-1}} {\label {2-1}}
$$

式中的 $p_0$ 为电机极对数,$\beta$为转矩角,$\boldsymbol{\psi_f}$ 为转子励磁磁链矢量。
凸极式三相同步电机的电磁转矩表达式为:

$$
\begin{split}
t_e &= p_0 \boldsymbol{\psi_s} \times \boldsymbol{i_s} \\
&= p_0 [\psi_f i_s sin\beta + {1 \over 2} (L_d - L_q)i_s^2 sin2\beta]
\end{split}
{\tag {2-2}} {\label {2-2}}
$$

式中的 $p_0$ 为电机极对数,$\beta$为转矩角,$\boldsymbol{\psi_s}$ 为定子磁链矢量,此式包括的励磁转矩和磁阻转矩。

标量控制与矢量控制

同步电机机械角速度为:

$$
{\Omega_r} = {2{\pi}f_s \over p_0}
$$

式中,$f_s$ 为电源频率。
传统的控制方法,是通过改变定子电压频率来调节电机转速,这是同步电机他控式变频调速的基本原理。但这种控制方式,只能控制电枢反应磁场旋转速度,不能控制转矩角$\beta$,也就不能控制转子速度和位置,属于一种标量控制。
而矢量控制是直接控制电流矢量 $\boldsymbol{i_s}$,既可以控制 $\boldsymbol{i_s}$ 的大小,也可以控制 $\boldsymbol{i_s}$ 的方向,即可以直接控制转矩角 $\beta$。


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文章标题:电机控制之空间矢量

本文作者:Yehuohanxing

发布时间:2017-07-16, 23:27:43

最后更新:2018-04-12, 10:25:29

原始链接:http://yehuohan.github.io/2017/07/16/笔记/电机控制之空间矢量/

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